出産後、子供の健康保険加入は夫の扶養で手続き可能か不安。自営業の義両親で会社に手続きしてもらえるか、主人に早めにお願いすべきか。

出産後、子供の健康保険加入についてです。
夫の扶養に入るのですが、手続きは会社でしてもらうものなのでしょうか？
義両親の自営業なので、こちらから催促しないと不安です。
産まれてすぐに主人に言って、子供の健康保険加入の手続きをして下さいとお願いしてもらったらいいでしょうか？

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