育休手当の計算について、育休が3月13日から始まる場合、2ヶ月分は3月13日から5月13日までとカウントされるのでしょうか。また、会社の締め日が月末の翌月20日支払いの場合、手当は6月20日頃に入るのでしょうか。

3/13〜5/12の60日分です。
会社から入金されるわけではないので、給料日は関係ありません。
5/13〜7/31の間に会社はハローワークへ申請して、手続きが終わり次第入金されます。

• 4月27日

3/13〜5/12の2ヶ月分です。
申請期間は5/13〜7/31となります。
5/13以降に申請はできますが、申請するときにこの期間に給料が支払われなかった証明をしなくてはならず、それの書類を個別対応してくれるならいいですが、そこそこの規模の会社だと締め日を待って書類を出して申請することがあります。
そうなると5/31を過ぎて書類を揃えて申請となるので、振り込まれるのは6月以降怒鳴る可能性はあります。

給料の支払日は関係ないですよ。

• 4月27日