週5日、4-5時間働いて月10万、年間120万は扶養内勤務になりません。88000円以上働くと扶養内には入りません。幼稚園の間だけ働く場合も同様です。

まず、旦那さんの保険組合の限度額が年間120万までOKならひとまずクリアです。所得税は引かれます。
週20時間を超えて、かつ月の稼ぎが88000円以上だと社会保険に入らないといけなくなります。適応となる勤務先の従業員数に設定があるので確認は必要です。
以下参考に⇩

2022年10月～社会保険の加入条件
1.所定労働時間が週20時間以上である
2.1カ月の賃金が8.8万円（※3）（年収約106万円）以上である
3.勤務期間が2ヵ月を超える見込みがある
4.勤務先の従業員が101人以上（厚生年金の被保険者数）の企業である（※4）
5.学生は対象外である（夜間や定時制など、加入対象となる学生もある）

• 3月28日