人気の病院で予防接種が遅れているので、別の病院で接種したい。かかりつけと別でも問題ないか気になる。どうしているか教えてほしい。

２ヶ月の女の子がいます
かかりつけの病院にしたいところが人気で予防接種の枠がすぐ埋まってしまいます
人気のある病院なので仕方がないのですが、予防接種がどんどん遅れてしまうのが少し気になります
そのため、かかりつけ以外で予防接種を打ちたいのですが、やっぱり予防接種を打つ病院とかかりつけは一緒ではないとまずいですか？
別々でも特に問題ないですか？
皆さんはどうされているのでしょうか？