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機械に詳しい方お願いします!現在１０年ほど前のテレビを使用しています…

機械に詳しい方お願いします！

現在１０年ほど前のテレビを使用していますが、２年前にブルーレイレコーダーを買い替えてつなぎ直したときにテレビをブルーレイレコーダーを通した状態じゃないと見れなくなりました。
前のレコーダーのときはテレビは単体で見れてました。
そのままつなぎ替えただけなんですが、おそらく何か配線が足りていないんだと思います。
現在レコーダーのリモコンを使って入力切換２でテレビが映り、録画などもできていて支障はないです。
もうつなぎ直すのは諦めてテレビのリモコンも処分してます。

プライムビデオやNetflixをテレビで見たいと思うんですが、Fire TV Stickというものは、我が家のような接続状態のテレビでも見れるのでしょうか？
その場合、テレビに差しても反応してくれるのでしょうか？
テレビはネットにつなげていません。
Wi-Fi環境はあります。
調べてもこういったケースはあまりないのかわかりません。
希望があるのであれば明日少し時間があるので家電屋へ見に行きたいのですが…
よろしくお願いいたします🙇

※来年引っ越し予定のため、そのタイミングでテレビの新調、レコーダーのつなぎ直しなど考えています。

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